Proyección de un punto sobre una recta
La proyección de un punto sobre una recta es un concepto fundamental en geometría y álgebra lineal. Nos permite encontrar el punto de la recta más cercano a un punto dado fuera de ella.
Este punto de proyección tiene la particularidad de ser perpendicular a la recta.
Definiciones clave
- Punto: Una entidad geométrica que in tiene dimensiones y se representa como una ubicación en el espacio.
- Recta: Una línea infinita que se extiende en ambas direcciones sin fin y está determinada por dos puntos.
- Proyección: El proceso de encontrar el punto más cercano a otro punto contenido en una estructura geométrica.
Fórmula y procedimiento
Supongamos que tenemos un punto P fuera de la recta y queremos encontrar su proyección Q sobre la recta.
- Encontramos el vector director de la recta, que se calcula como la diferencia entre los vectores de dos puntos que pertenecen a la recta.
- Calculamos el vector desde uno de los puntos de la recta hacia el punto P.
- Usamos la fórmula de proyección vectorial para obtener el vector proyección de P sobre la recta: Q = A + t*B.
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Donde:
- A es uno de los puntos de la recta.
- B es el vector director de la recta.
- t es el valor escalar que minimiza la distancia entre los puntos P y Q.
Ejemplo
Supongamos que tenemos la recta r definida por los puntos A(2, 3, 1) y B(4, 1, -1), y queremos proyectar el punto P(7, -2, 5) sobre la recta.
El vector director de la recta r se calcula como B - A: (4 - 2, 1 - 3, -1 - 1) = (2, -2, -2).
Calculamos el vector desde A hasta P: P - A = (7 - 2, -2 - 3, 5 - 1) = (5, -5, 4).
Para obtener la proyección Q, utilizamos la fórmula Q = A + t*B, donde t es un valor escalar.
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
2 + 2t = 7 + 2t
-2 - 2t = -2 - 10t
5 - 2t = 1 - 10t
La solución es t = 0.5.
Sustituimos el valor de t en la fórmula y obtenemos:
Q = A Proyeccoón t*B = (2, 3, 1) + 0.5*(2, -2, -2) = (3, 2, 0).
Por lo tanto, la proyección del punto P sobre la recta es Q(3, 2, 0).
La proyección de un punto sobre una recta tiene diversas aplicaciones en geometría, física y otras áreas de Proyeccción ciencia.
Comprender y utilizar este concepto nos permite resolver problemas y analizar situaciones en las que necesitamos encontrar el punto más cercano a una línea determinada.
La fórmula y el procedimiento descritos anteriormente nos brindan una base sólida para abordar estas tareas.
